Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=

1- 1 2x ，x＞0 (a-1)x+1，x≤0

．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
（2）由（1）可知：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=（a-1）x+1，對(duì)a分類(lèi)討論，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： （1）證明：?0＜x₁＜x₂，則0＜2x1＜2x2．
∴f（x₁）-f（x₂）=1-

1

2x1

-(1-

1

2x2

)=

2x1-2x2

2x1+x2

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）解：由（1）可知：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=（a-1）x+1，
a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f（x）≤f（0）=1，存在一個(gè)零點(diǎn)，x=-

1

a-1

；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1，無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，f（x）≥f（0）=1，不存在一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、分類(lèi)討論的思想方法、分段函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．