Question

已知x²+y²+xy=2，則x+2y的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：當(dāng)x=0時(shí)，y²=2，可得x+2y=±2

2

．當(dāng)x≠0時(shí)，設(shè)a=x+2y，則a²=x²+4xy+4y²，于是

a2

2

=

x2+4xy+4y2

x2+xy+y2

=

1+4• y x +4( y x )2

1+ y x +( y x )2

，令t=

y

x

，化為（8-a²）t²+（8-a²）t+（2-a²）=0，a²≠8，t為實(shí)數(shù)，利用△≥0，解出即可．

解答： 解：當(dāng)x=0時(shí)，y²=2，∴x+2y=±2

2

．
當(dāng)x≠0時(shí)，設(shè)a=x+2y，
則a²=x²+4xy+4y²，
∴

a2

2

=

x2+4xy+4y2

x2+xy+y2

=

1+4• y x +4( y x )2

1+ y x +( y x )2

，
令t=

y

x

，化為（8-a²）t²+（8-a²）t+（2-a²）=0，
∵a²≠8，t為實(shí)數(shù)，
∴△=（8-a²）²-4（8-a²）（2-a²）≥0，
化為a²（a²-8）≤0，a²≠8，
解得0≤a²＜8
∴-2

2

＜a＜2

2

．
綜上可得：-2

2

≤a≤2

2

．
故答案為：[-2

2

，2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過配方換元轉(zhuǎn)化為一元二次方程由實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．