Question

9．已知三棱柱ABC一A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為2$\sqrt{6}$，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，則此球的體積等于（　�。�

• A． 36π
• B． 72π
• C． 144π
• D． 288π

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形求出三棱柱的高，判斷底面△ABC是直角三角形；連接上下底面中心，得出外接球的球心與半徑，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系求出球的半徑與表面積．

解答 解：根據(jù)題意，三棱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
其體積為$\frac{1}{2}$•AB•AC•sin∠BAC•AA₁=$\frac{1}{2}$×2×1×sin60°×AA₁=2$\sqrt{6}$，
AA₁=4$\sqrt{2}$，
所以BC=$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}-2×2×1×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
所以△ABC是直角三角形；
如圖所示，
連接上下底面中心P、Q，O為PQ的中點，
則OP⊥平面ABC，球的半徑為OA，
由題意OP=2$\sqrt{2}$，AP=$\frac{1}{2}$AB=1，∴OA=3，
所以球的表面積為：4πR²=4π×3²=36π．
故選：A．

點評 本題考查了球的表面積與球的內(nèi)接體問題，也考查了空間想象能力理解能力的應(yīng)用問題，是綜合性題目．