Question

8．如圖，等腰梯形ABDC內(nèi)接于圓，過(guò)B作腰AC的平行線(xiàn)BE交圓于F，過(guò)A點(diǎn)的切線(xiàn)交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于P，PC=ED=1，PA=2．
（Ⅰ）求AC的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求證：BE=EF．

Answer 1

分析 （I）由PA是圓的切線(xiàn)結(jié)合切割線(xiàn)定理得比例關(guān)系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA，從而求得AC的長(zhǎng)；
（II）欲求證：“BE=EF”，可先分別求出它們的值，比較即可，求解時(shí)可結(jié)合圓中相交弦的乘積關(guān)系．

解答 解：（I）∵PA²=PC•PD，PA=2，PC=1，
∴PD=4，…（2分）
又∵PC=ED=1，
∴CE=2，
∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，
∴△PAC∽△CBA，
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{AC}{AB}$，…（4分）
∴AC²=PC•AB=2，
∴$AC=\sqrt{2}$…（5分）
證明：（II）∵$BE=AC=\sqrt{2}$，CE=2，而CE•ED=BE•EF，…（8分）
∴$EF=\frac{2•1}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
∴EF=BE．    …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段、圓中的切割線(xiàn)定理以及相似三角形的知識(shí)，屬于中檔題．