Question

3．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥AE
（2）若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，求二面角D-AE-B的大�。�

Answer 1

分析 （1）由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，推導(dǎo)出BD⊥AC，BD⊥PC，由此能證明BD⊥AE．
（2）法1：在平面DAE內(nèi)，過點(diǎn)D作DF⊥AE于F，連結(jié)BF．推導(dǎo)了出Rt△ADE≌Rt△ABE，從而△ADF≌△ABF，進(jìn)而BF⊥AE．得到∠DFB為二面角D-AE-B的平面角，由此能求出二面角D-AE-B的大小．
法2：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CD，CB，CP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-AE-B的大�。�

解答 （本題滿分12分）
解：（1）由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形
側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（1分）連結(jié)AC，
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．…（2分）
∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC．…（3分）
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．…（4分）
∵AE?平面PAC．∴BD⊥AE．…（5分）
（2）解法1：在平面DAE內(nèi)過點(diǎn)D作DF⊥AE于F，連結(jié)BF．
∵AD=AB=1，DE=BE=$\sqrt{12+12}$=$\sqrt{2}$，AE=AE=$\sqrt{3}$，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
從而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE．
∴∠DFB為二面角D-AE-B的平面角． …（7分）
在Rt△ADE中，DF=$\frac{AD•DE}{AE}$=$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴BF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（9分）
又BD=$\sqrt{2}$，在△DFB中，由余弦定理得
cos∠DFB=$\frac{D{F}^{2}+B{F}^{2}-B{D}^{2}}{2DF•BF}$=-$\frac{1}{2}$，…（11分）
∴∠DFB=$\frac{2π}{3}$，即二面角D-AE-B的大小為$\frac{2π}{3}$．…（12分）
解法2：如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CD，CB，CP所在的直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系．
則D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），…（6分）
從而$\overrightarrow{DA}$=（0，1，0），$\overrightarrow{DE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{BA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，-1，1）．
設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BA}=a=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（0，-1，-1），…（9分）
設(shè)二面角D-AE-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，…（11分）
∴θ=$\frac{2π}{3}$，即二面角D-AE-B的大小為$\frac{2π}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．