Question

6．己知函數(shù)f（x）=sinx（$\sqrt{3}$cosx+sinx）+$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）若x∈[0，π]，求f（x）遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=2，sinB=2sinA，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，利用二倍角公式、輔助角公式進(jìn)行化簡函數(shù)解析式，然后，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解．
（Ⅱ）由函數(shù)關(guān)系式和特殊角的三角函數(shù)值求得C=$\frac{π}{3}$．然后根據(jù)正弦定理、余弦定理求得a=1，b=2，所以結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行解答即可．

解答 解：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
（Ⅰ）在R內(nèi)，由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
增區(qū)間為[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z，
∴x∈[0，π]時增區(qū)間是[0，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{5π}{6}$，π]；
（Ⅱ）f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）+1=2，則sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$．
∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a，①
由余弦定理得，3=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，②
由①②解得a=1，b=2，
△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×1×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理、余弦定理，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．