Question

14．設(shè)傾斜角為α的直線l經(jīng)過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F，與拋物線C交于A，B兩點，設(shè)點A在x軸上方，點B在x軸下方．若$\frac{|AF|}{|BF|}=m$，則cosα的值為（　�。�

• A． $\frac{m-1}{m+1}$
• B． $\frac{m}{m+1}$
• C． $\frac{m-1}{m}$
• D． $\frac{{2\sqrt{m}}}{m+1}$

Answer 1

分析 由題意可知：∠BAC等于直線AB的傾斜角α，根據(jù)拋物線的定義，分別求得丨AC丨及丨AB丨，即可求得cosα的值．

解答 解：設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的準線為l：x=-$\frac{p}{2}$．
如圖所示，分別過點A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足為M，N．
在三角形ABC中，∠BAC等于直線AB的傾斜角α，
由$\frac{|AF|}{|BF|}=m$，|AF|=m|BF|，丨AB丨=丨AF丨+丨BF丨=（m+1）丨BF丨，
根據(jù)拋物線的定義得：|AM|=丨AF丨=m|BF|，丨BN丨=丨BF丨，
∴|AC|=丨AM丨-丨MC丨=m|BF|-丨BF丨=（m-1）丨BF丨，
在直角三角形ABC中，cosα=cosα∠BAC=$\frac{丨AC丨}{丨AB丨}$=$\frac{（m-1）丨BF丨}{（m+1）丨BF丨}$=$\frac{m-1}{m+1}$；
故選A．

點評 本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．