Question

16．平面直角坐標系中有一個△ABC，已知B（-1，0），C（1，0），且|AB|=$\sqrt{2}$|AC|．
（Ⅰ）求頂點A的軌跡方程；
（Ⅱ）求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求頂點A的軌跡方程；
（Ⅱ）求出A到x軸的最大距離，即可求△ABC的面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A（x，y），則
∵B（-1，0），C（1，0），且|AB|=$\sqrt{2}$|AC|，
∴（x+1）²+y²=2（x-1）²+2y²，
∴x²+y²-6x+1=0
∴頂點A的軌跡方程為x²+y²-6x+1=0；
（Ⅱ）x²+y²-6x+1=0可化為（x-3）²+y²=8，
∴A到x軸的最大距離為2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面積的最大值為$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．