Question

【題目】已知函數(shù)，，函數(shù)，記.把函數(shù)的最大值稱為函數(shù)的“線性擬合度”.

（1）設函數(shù)，，，求此時函數(shù)的“線性擬合度”；

（2）若函數(shù)，的值域為（），，求證：；

（3）設，，求的值，使得函數(shù)的“線性擬合度”最小，并求出的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）當時，.

【解析】

（1）由題意，將和帶入求出的表達式，求出此時的最大值即可；
（2）由定義寫出的表達式，以及可能的取值情況，再用絕對值不等式性質即可得到所求；
（3）寫出的函數(shù)表達式，討論的不同取值情況時函數(shù)的單調(diào)性，求出其對應的值.

（1），

當時，，

當且僅當，即時，取等號，

所以，則在時單調(diào)遞減，

在時單調(diào)遞增.

又，，所以函數(shù)對于函數(shù)的“線性擬合度”；

(2) 根據(jù)定義，，又，

所以，，

于是.

因為

所以，即；

（3）,，，

考慮函數(shù)，的值域：

① 當時，在時單調(diào)遞增，，

由（2）知，，

當時，取等號，故最小為；

② 當時，，，

當，即時，在時單調(diào)遞增，，

由（2）知，，

當時，取等號，故最小為；；

當，即時，，

由（2）知，，當且僅當時取等號，最小為；

當，即時，，

由（2）知，；

當，即時，在時單調(diào)遞減，，

由（2）知，.

綜上，當且僅當時，.