Question

15．已知函數f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在區(qū)間[2，4]上的最大值與最小值的差為2，則a的值是$\sqrt{2}或\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 對底數進行分類討論，然后根據單調性進行判斷函數在[2，4]上的最大值與最小值，根據最大值與最小值之差為2構造方程即可求解．

解答 解：當0＜a＜1時，f（x）=log_ax在[2，4]上單調遞減，
故函數的最大值為f（2），最小值為f（4），
則f（2）-f（4）=log_a2-log_a4=log_a$\frac{1}{2}$=2，
解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當a＞1時，f（x）=log_ax在[2，4]上單調遞增，
故函數的最大值為f（4），最小值為f（2），
則f（4）-f（2）=log_a4-log_a2=log_a2=2，
解得a=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}或\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 在處理指數函數和對數函數問題時，若對數未知，一般情況下要對底數進行分類討論，分為0＜a＜1，a＞1兩種情況，然后在每種情況對問題進行解答，然后再將結論綜合，得到最終的結果．