Question

15．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在區(qū)間[2，4]上的最大值與最小值的差為2，則a的值是$\sqrt{2}或\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 對底數(shù)進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行判斷函數(shù)在[2，4]上的最大值與最小值，根據(jù)最大值與最小值之差為2構(gòu)造方程即可求解．

解答 解：當(dāng)0＜a＜1時，f（x）=log_ax在[2，4]上單調(diào)遞減，
故函數(shù)的最大值為f（2），最小值為f（4），
則f（2）-f（4）=log_a2-log_a4=log_a$\frac{1}{2}$=2，
解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)a＞1時，f（x）=log_ax在[2，4]上單調(diào)遞增，
故函數(shù)的最大值為f（4），最小值為f（2），
則f（4）-f（2）=log_a4-log_a2=log_a2=2，
解得a=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}或\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 在處理指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)問題時，若對數(shù)未知，一般情況下要對底數(shù)進(jìn)行分類討論，分為0＜a＜1，a＞1兩種情況，然后在每種情況對問題進(jìn)行解答，然后再將結(jié)論綜合，得到最終的結(jié)果．