Question

20．一邊長為2的正三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B在平面α上，另一個(gè)頂點(diǎn)C在平面α上的射影為C'，則三棱錐A-BC'C的體積的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連接CD，C′D，設(shè)平面ABC與平面α所成的角為θ，求出S_△CDC′，證明AB⊥平面CDC′，則V_C-ABC′=$\frac{1}{3}{S}_{△CDC′}•AB$=$\frac{1}{2}$sin2θ，從而得出體積的最大值．

解答 解：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連接CD，C′D，
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴AB⊥CD，CD=$\sqrt{3}$．
∵CC′⊥α，AB?α，
∴CC′⊥AB，又CD∩CC′=C，
∴AB⊥平面CDC′，
∴∠CDC′為平面ABC與平面α所成的角，
設(shè)∠CDC′=θ，則CC′=CDsinθ=$\sqrt{3}$sinθ，C′D=$\sqrt{3}$cosθ，
∴S_△CDC′=$\frac{1}{2}CD•C′D$=$\frac{3}{2}$sinθcosθ=$\frac{3}{4}$sin2θ，
∴V_C-ABC′=$\frac{1}{3}{S}_{△CDC′}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{4}sin2θ×2$=$\frac{1}{2}$sin2θ，
∴當(dāng)2θ=$\frac{π}{2}$即$θ=\frac{π}{4}$時(shí)，V取得最大值$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了項(xiàng)目垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．