Question

己知 定義在R上的函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=8（1-|x-1|），且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x∈[2ⁿ-2，2ⁿ⁺¹-2]（n∈N，且n≥2），都有f（x）=

1

2

f（

x

2

-1），若函數(shù)g（x）=f（x）-log_ax有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由g（x）=f（x）-log_ax=0，得f（x）=log_ax，分別作出函數(shù)f（x）和y=log_ax的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=8（1-|x-1|），
當(dāng)n=2時(shí)，x∈[2，6]，此時(shí)

x

2

-1∈[0，2]，則f（x）=

1

2

f（

x

2

-1）=

1

2

×8（1-|

x

2

-1-1|）=4（1-|

x

2

-2|），
當(dāng)n=3時(shí)，x∈[6，14]，此時(shí)

x

2

-1∈[2，6]，則f（x）=

1

2

f（

x

2

-1）=

1

2

×4（1-|

x

4

-

5

2

|）=2（1-|

x

4

-

5

2

|），
由g（x）=f（x）-log_ax=0，得f（x）=log_ax，分別作出函數(shù)f（x）和y=log_ax的圖象，
若0＜a＜1，則此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件．
若a＞1，當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)A時(shí)，兩個(gè)圖象只有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)，
則要使兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，則對(duì)數(shù)函數(shù)圖象必須在A點(diǎn)以下，B點(diǎn)以上，
∵f（4）=4，f（10）=2，∴A（4，2），B（10，2），
即滿(mǎn)足

loga4＜f(4) loga10＞f(10)

，
即

loga4＜4 loga10＞2

，解得

a4＞4 a2＜10

，
即2＜a²＜10，
∵a＞1，
∴

2

＜a＜

10

，
故則a的取值范圍為是（

2

，

10

），
故答案為：（

2

，

10

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一點(diǎn)的難度．