Question

6．若曲線f（x）=lnx-（a+1）x存在與直線x-2y+1=0垂直的切線，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）=lnx-（a+1）x的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合與直線x-2y+1=0垂直的切線斜率為-2，可得$\frac{1}{x}$-a-1=-2有大于0的解，分離參數(shù)，求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=lnx-（a+1）x，x＞0，
則f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-1，
若函數(shù)f（x）存在與直線x-2y+1=0垂直的切線，
可得$\frac{1}{x}$-a-1=-2有大于0的解，
則$\frac{1}{x}$=a-1＞0，
解得a＞1，
則實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞），
故選C．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查存在性問題的解法，注意運用參數(shù)分離法，考查運算能力，屬于中檔題．