Question

1．函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=ax²-（2a-1）x，若f（x）-g（x）有極大值點x=1，則實數(shù)a的取值范圍（　�。�

• A． a＞$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$＜a＜1
• C． a＜$\frac{1}{2}$
• D． a＞1

Answer 1

分析 分別討論a的取值范圍，根據(jù)函數(shù)極值的定義，進(jìn)行驗證即可得到結(jié)論．

解答 解：令h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-ax²+（2a-1）x，
h′（x）=lnx-2ax+2a，
∵f（x）-g（x）在x=1處取得極大值，∴h′（1）=0，
①當(dāng)a≤0時，h（x）單調(diào)遞增，
則當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）在x=1處取得極小值，不合題意，
②當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{2a}$＞1，由（1）知，f′（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，當(dāng)1＜x＜$\frac{1}{2a}$時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，$\frac{1}{2a}$）內(nèi)單調(diào)遞增，即f（x）在x=1處取得極小值，不合題意．
③當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{2a}$=1，f′（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
則當(dāng)x＞0時，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，不合題意．
④當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時，0＜$\frac{1}{2a}$＜1，
當(dāng)$\frac{1}{2a}$＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時，f（x）取得極大值，滿足條件．
綜上實數(shù)a的取值范圍是a＞$\frac{1}{2}$；
故選：A．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，要求熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、把問題等價轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．