Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．
（1）證明PA∥平面BDE；
（2）證明：DE⊥面PBC；
（3）求二面角B-DE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結AC交BD于O，連結OE，利用中位線定理得出PA∥OE，故而PA∥平面BDE；
（2）通過證明BC⊥平面PCD得出BC⊥DE，結合DE⊥PC即可得出DE⊥平面PBC；
（3）由DE⊥平面PBC即可得知∠BEC為二面角B-DE-C的平面角，作出EM⊥CD，求出BM，EM，得出BE，從而cos∠BEC=$\frac{EC}{BE}$．

解答 解：（1）證明：連結AC交BD于O，連結OE，
∵底面ABCD是正方形，
∴O為AC的中點，又E為PC的中點，
∴OE∥PA，又PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）證明：∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，又CD⊥BC，PD?平面PCD，CD?平面CDP，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面CDP，又DE?平面CDP，
∴BC⊥DE，
∵PD=DC，E為PC的中點，
∴DE⊥PC，又BC?平面PBC，PC?平面PBC，BC∩PC=C，
∴DE⊥平面PBC．
（3）由（2）得DE⊥平面PBC，又BE?平面PBC，
∴DE⊥BE，又DE⊥CE，
∴∠BEC為二面角B-DE-C的平面角，
過E作EM⊥CD于M，則M為CD的中點，連結BM，
設PD=CD=1，則CM=EM=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$，CE=$\frac{1}{2}PC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴BM=$\sqrt{B{C}^{2}+C{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，BE=$\sqrt{B{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos∠BEC=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，二面角的計算，屬于中檔題．