Question

9．已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且$PA=AB=\sqrt{2}$，E是AB中點．
（1）求證：AE⊥平面PBC；
（2）求點E到平面PAC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥AE．PB⊥AE，即可證明AE⊥平面PBC．
（2）利用點E到平面PAC的距離為點B到平面PAC的距離的$\frac{1}{2}$．連接BD，交AC于點O，則AC⊥BO，求解BO即可．

解答 解：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD∴PA⊥BC．
又∵正方形ABCD，∴AB⊥BC．∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE．
又∵PA=AB，E是AB中點，∴PB⊥AE．∵PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC．
（2）∵E是AB中點，
∴點E到平面PAC的距離為點B到平面PAC的距離的$\frac{1}{2}$．
連接BD，交AC于點O，則AC⊥BO，
又∵PA⊥平面ABCD，BO?平面ABCD，∴PA⊥BO．
∵AC∩PA=A，∴BO⊥平面PAC．
∴BO為點B到平面PAC的距離．
∵$AB=\sqrt{2}$，∴BO=1．
∴$點E到平面PAC的距離為\frac{1}{2}BO=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查空間點線面距離的求法，直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及距離投籃能力．