Question

1、已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)均為1，對(duì)于下列結(jié)論：
（1）BD₁⊥平面A₁DC₁；
（2）A₁C₁和AD₁所成角為45°；
（3）點(diǎn)A和點(diǎn)C₁在該正方體外接球表面上的球面距離為

3

2

π；
（4）E到平面ABC₁的距離為

1

2

（E為A₁B₁中點(diǎn)）
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：（1）中根據(jù)線面垂直的判定定理可判，（2）中可由異面直線所成的角的定義進(jìn)行判斷；而（3）中由球面距離的求解即可得出答案；（4）E到平面ABC₁的距離轉(zhuǎn)化為B₁到平面ABC₁的距離求解即得．

解答：解：（1）中，由線面垂直的性質(zhì)定理可知BD₁⊥A₁D，BD₁⊥A₁C₁，從而根據(jù)線面垂直的判定定理得到BD₁⊥平面A₁DC₁，故正確；
（2）中因?yàn)锳₁C₁和AD₁所成角等于AC和AD₁所成角，為∠CAD₁=60°，知不正確；
（3）中點(diǎn)A和點(diǎn)C₁在該正方體外接球表面上是球的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，它們的球面距離是球的大圓周長(zhǎng)的一半，球的半徑為R=

3

2

，它們的球面距離為

3

2

π，故正確；
（4）中E到平面ABC₁的距離B₁到平面ABC₁的距離，為正方形BCC₁B₁對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即

2

2

，故錯(cuò)．
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是2．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正方體中的線面位置關(guān)系和異面直線所成的角，考查邏輯推理能力．