Question

已知函數(shù)f（x）=sin

π

2

x，任取t∈R，記函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M_t，最小值為m_t，h（t）=M_t-m_t，則函數(shù)h（t）的值域為

 

．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用正弦函數(shù)的周期公式可得其周期T=4，區(qū)間[t，t+1]的長度為

1

4

T，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可求得函數(shù)h（t）=M_t-m_t，的值域．

解答： 解：∵f（x）=sin

π

2

x，
∴其周期T=

2π

π 2

=4，區(qū)間[t，t+1]的長度為

1

4

T，
又f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M_t，最小值為m_t，

由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，當(dāng)x∈[4k+

1

2

，4k+

3

2

]時，h（t）=M_t-m_t，取得最小值1-

2

2

；
當(dāng)x∈[4k+

3

2

，4k+

5

2

]時，h（t）=M_t-m_t取得最大值

2

2

-（-

2

2

）=

2

；
∴函數(shù)h（t）的值域為[1-

2

2

，

2

]．
故答案為：[1-

2

2

，

2

]．

點評：本題考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值，考查分析問題，解決問題的能力，屬于中檔題．