Question

14．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁作傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線交雙曲線的右支交于點P，若|PF₂|=|F₁F₂|，則雙曲線的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線的左焦點，由雙曲線的定義求得|PF₁|，再由余弦定理和離心率公式計算即可得到所求．

解答 解：設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點為F₁（-c，0），
由于|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
由∠PF₁F₂=$\frac{π}{6}$，
由雙曲線的定義可得，|PF₁|=2a+2c，
由余弦定理可得，|PF₂|²=|PF₁|²+|F₁F₂|²-2|PF₁|•|F₁F₂|•cos$\frac{π}{6}$，
即有4c²=（2a+2c）²+4c²-2（2a+2c）•2c•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
化簡可得a=（$\sqrt{3}$-1）c，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，運用定義是解本題的關(guān)鍵．