Question

6．已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1和雙曲線C₂：$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1，其中b＞a＞0，則關(guān)于雙曲線C₁與C₂的命題．
①漸近線相同；
②焦點相同；
③離心率e₁，e₂滿足$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=1；
④兩個雙曲線焦點在同一圓上，
其中所有正確的命題序號為（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ③④

Answer 1

分析 分別求得雙曲線的漸近線方程和焦點坐標、以及離心率，即可判斷①③④正確，②錯誤．

解答 解：由雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1和雙曲線C₂：$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
可得漸近線方程均為y=±$\frac{a}$x，故①正確；
雙曲線C₁的焦點為（±$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，0），雙曲線C₂的焦點為（0，±$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$），
故②錯誤；
離心率e₁，e₂滿足$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$+$\frac{1}{\frac{{a}^{2}+^{2}}{^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=1，
故③正確；
由焦點為（±$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，0），（0，±$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$），可得它們在圓x²+y²=a²+b²上，
故④正確．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和焦點坐標和離心率，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．