Question

8．若平面α的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（-2，3，1），直線l的一個方向向量為$\overrightarrow{a}$=（1，-2，3），則l與α所成角的正弦值為$\frac{5}{14}$．

Answer 1

分析 設(shè)l與α所成角為θ，則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{a}|}$，由此能求出l與α所成角的正弦值．

解答 解：∵平面α的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（-2，3，1），直線l的一個方向向量為$\overrightarrow{a}$=（1，-2，3），
設(shè)l與α所成角為θ，
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{|-2-6+3|}{\sqrt{4+9+1}•\sqrt{1+4+9}}$=$\frac{5}{14}$．
∴l(xiāng)與α所成角的正弦值為$\frac{5}{14}$．
故答案為：$\frac{5}{14}$．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．