Question

已知數(shù)列，
（Ⅰ）計(jì)算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)S_n、T_n分別為數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）解：由題意，∵點(diǎn)（n，2a_n+1-a_n）在直線y=x上，
∴2a_n+1-a_n=n
∵，∴，
同理，，；
（Ⅱ）證明：∵b_n=a_n+1-a_n-1，2a_n+1-a_n=n
∴b_n+1=a_n+2-a_n+1-1=-a_n+1-1=（a_n+1-a_n-1）=b_n，
∵b₁=a₂-a₁-1=-
∴數(shù)列{b_n}是以-為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
（Ⅲ）解：存在λ=2，使數(shù)列是等差數(shù)列．
由（Ⅱ）知，，，
∵a_n+1=n-1-b_n=n-1+，∴a_n=n-2+，
∴S_n==
由題意，要使數(shù)列是等差數(shù)列，則
∴2×=-λ+，∴λ=2
當(dāng)λ=2時(shí)，=，數(shù)列是等差數(shù)列
∴當(dāng)且僅當(dāng)λ=2時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列．
分析：（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)（n，2a_n+1-a_n）在直線y=x上，可得2a_n+1-a_n=n，代入計(jì)算可得a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）利用b_n=a_n+1-a_n-1，及2a_n+1-a_n=n，即可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）求得數(shù)列的前三項(xiàng)，求得λ，再驗(yàn)證即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的定義，考查是否存在性問(wèn)題的探究，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)．