【題目】已知直線x﹣9y﹣8=0與曲線C：y=x3﹣px2+3x相交于A，B，且曲線C在A，B處的切線平行，則實數(shù)p的值為（ ）
A.4
B.4或﹣3
C.﹣3或﹣1
D.﹣3

【答案】B
【解析】解：由y=x3﹣px2+3x，得y′=3x2﹣2px+3，
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
則曲線C在A，B處的切線的斜率分別為3x12﹣2px1+3，
3x22﹣2px2+3，
∵曲線C在A，B處的切線平行，
∴3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3，
令3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3=m，
∴x1 ， x2是方程3x2﹣2px+3﹣m=0的兩個根，
則x1+x2= p，
下面證線段AB的中點在曲線C上，
∵
=
= =p﹣ p3 ，
而（ ）3﹣p（ ）2+3 = p3﹣ p3+p
=p﹣ p3 ，
∴線段AB的中點在曲線C上，
由x1+x2= p，知線段的中點為（ p， （ p﹣8）），
∴﹣ + p=p﹣ p3 ， 解得p=﹣1，﹣3或4．
當p=﹣1時，y=x3+x2+3x的導數(shù)為y′=3x2+2x+3＞0恒成立，
即函數(shù)為遞增函數(shù)，直線與曲線只有一個交點，舍去；
p=﹣3，或4時，y=x3﹣px2+3x不單調(diào)，成立．
故選：B．

練習冊系列答案
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= ．

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