Question

若橢圓C₁：

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)的離心率等于

3

2

，拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)在橢圓的頂點(diǎn)上．
（1）求拋物線C₂的方程；
（2）求過點(diǎn)M（-1，0）的直線l與拋物線C₂交E、F兩點(diǎn)，又過E、F作拋物線C₂的切線l₁、l₂，當(dāng)l₁⊥l₂時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

（1）已知橢圓的長(zhǎng)半軸為2，半焦距c=

4-b2

由離心率等于e=

c

a

=

4-b2

2

=

3

2

∴b²=1∴橢圓的上頂點(diǎn)（0，1）∴拋物線的焦點(diǎn)為（0，1）
∴拋物線的方程為x²=4y
（2）由已知，直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，
∴切線l₁，l₂的斜率分別為

1

2

x1，

1

2

x2
當(dāng)l₁⊥l₂時(shí)，

1

2

x1•

1

2

x2=-1，即x₁•x₂=-4
由

y=k(x+1) x2=4y

得：x²-4kx-4k=0
∴△=（4k）²-4×（-4k）＞0解得k＜-1或k＞0①
∴x₁•x₂=-4k=-4，即：k=1
此時(shí)k=1滿足①
∴直線l的方程為x-y+1=0