Question

17．某學校為了對教師教學水平和教師管理水平進行評價，從該校學生中選出300人進行統(tǒng)計．其中對教師教學水平給出好評的學生人數為總數的60%，對教師管理水平給出好評的學生人數為總數的75%，其中對教師教學水平和教師管理水平都給出好評的有120人．
（1）填寫教師教學水平和教師管理水平評價的2×2列聯(lián)表：

	對教師管理水平好評	對教師管理水平不滿意	合計
對教師教學水平好評
對教師教學水平不滿意
合計

問：是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認為教師教學水平好評與教師管理水平好評有關、
（2）若將頻率視為概率，有4人參與了此次評價，設對教師教學水平和教師管理水平全好評的人數為隨機變量X；
①求對教師教學水平和教師管理水平全好評的人數X的分布列（概率用組合數算式表示）；
②求X的數學期望和方差．

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根據題意，可得關于教師教學水平和教師管理水平評價的2×2列聯(lián)表，計算K²，驗證K²是否大于10.828，即可得出結論；
（2）①分別求出X所有可能取值的概率，得出X的分布列；
②由于X～B（4，$\frac{2}{5}$），即可計算數學期望和方差．

解答 解：（1）由題意可得關于教師教學水平和教師管理水平評價的2×2列聯(lián)表：

	對教師管理水平好評	對教師管理水平不滿意	合計
對教師教學水平好評	120	60	180
對教師教學水平不滿意	105	15	120
合計	225	75	300

…2分
${K^2}=\frac{{300×{{（120×15-60×105）}^2}}}{180×120×225×75}≈16.667＞10.828$，
∴可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認為教師教學水平好評與教師管理水平好評有關； …5分
（2）①對教師教學水平和教師管理水平全好評的概率為$\frac{2}{5}$，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，其中$P（X=0）={（{\frac{3}{5}}）^4}$；$P（X=1）=C_4^1（{\frac{2}{5}}）{（{\frac{3}{5}}）^3}$；$P（X=2）=C_4^2{（{\frac{2}{5}}）^2}{（{\frac{3}{5}}）^2}$；$P（X=3）=C_4^3{（{\frac{2}{5}}）^3}{（{\frac{3}{5}}）^1}$；$P（X=4）=C_4^4{（{\frac{2}{5}}）^4}{（{\frac{3}{5}}）^0}$，…8分
X 的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	${（{\frac{3}{5}}）^4}$	$C_4^1（{\frac{2}{5}}）{（{\frac{3}{5}}）^3}$	$C_4^2{（{\frac{2}{5}}）^2}{（{\frac{3}{5}}）^2}$	$C_4^3{（{\frac{2}{5}}）^3}{（{\frac{3}{5}}）^1}$	$C_4^4{（{\frac{2}{5}}）^4}{（{\frac{3}{5}}）^0}$

…10分
②由于X～B（4，$\frac{2}{5}$），則$EX=4×\frac{2}{5}=\frac{8}{5}$，$DX=4×\frac{2}{5}×（{1-\frac{2}{5}}）=\frac{24}{25}$． …12分

點評 本題考查了獨立性檢驗的應用，隨機變量的分布列和數學期望，正確求出概率是關鍵，屬于中檔題．