Question

7．設(shè)圓x²+y²=12與拋物線x²=4y相交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，若過點F且斜率為1的直線l與拋物線和圓交于四個不同的點，從左至右依次為P₁，P₂，P₃，P₄，則|P₁P₂|+|P₃P₄|的值5$\sqrt{2}$，若直線m與拋物線相交于M，N兩點，且與圓相切，切點D在劣弧$\widehat{AB}$上，則|MF|+|NF|的取值范圍是[2+4$\sqrt{3}$，22]．

Answer 1

分析 由圓的方程和拋物線的方程聯(lián)解，求得交點A、B的坐標，從而判斷直線l與圓交于P₁、P₃，直線l與拋物線交于P₂、P₄，另|P₁P₂|+|P₃+P₄|的表達式用P₁，P₂，P₃，P₄的四點的橫坐標表示，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，代入表達式，即解；先設(shè)直線m的方程y=k+b，交點M、N坐標，再用點M、N縱坐標表示出|MF|+|NF|，由與圓相切，得到k與b的關(guān)系，消去k用b表示|MF|+|NF|，即得到關(guān)于b的一個函數(shù)，由k_OA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k_OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到k的范圍，由此求得b的范圍，再將b的代入|MF|+|NF|的函數(shù)關(guān)系式中并求出其范圍．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=12}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}}\\{y=2}\end{array}\right.$，
即A（-2$\sqrt{2}$，2），B（2$\sqrt{2}$，2）．
∵點F坐標為（0，1），∴k_FB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴k_l＞k_FB，
所以直線l與圓交于P₁、P₃兩點，與拋物線交于P₂、P₄兩點，
設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄）
把直線l方程：y=x+1代入x²=4y，得x²-4x-4=0，∴x₂+x₄=4；
把直線l方程：y=x+1代入x²+y²=12，得2x²+2x-11=0，∴x₁+x₃=-1
∴|P₁P₂|+|P₃P₄|=$\sqrt{2}$[（x₂-x₁）+（x₄-x₃）]=$\sqrt{2}$[（x₂+x₄）-（x₁+x₃）]=5$\sqrt{2}$
所以|P₁P₂|+|P₃P₄|的值等于5$\sqrt{2}$．
設(shè)直線m的方程為y=k+b（b＞0），
代入拋物線方程得x²-4kx-4b=0，
設(shè)點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，
則y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=4k²+2b，
∵直線m與該圓相切，∴$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{12}$，即${k}^{2}=\frac{^{2}}{12}-1$，
又|MF|=y₁+1，|NF|=y₂+1，
∴|MF|+|NF|=y₁+y₂+2=4k²+2b+2=$\frac{1}{3}（b+3）^{2}-5$
∵k_OA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k_OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴分別過A、B的圓的切線的斜率為$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$．
∴k∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，∴0≤k²≤2，∴0≤$\frac{^{2}}{12}$-1≤12，
∵b＞0，∴b∈[2$\sqrt{3}$，6]
所以|MF|+|NF|的取值范圍為[2+4$\sqrt{3}$，22]．
故答案為：5$\sqrt{2}$；[2+4$\sqrt{3}$，22]．

點評 此題考查用坐標法解決圓錐曲線問題，在解題過程中還考查了弦長公式的運用，同時還考查學生的計算技巧中設(shè)而不求的方法．