Question

7．在直角坐標(biāo)系xOy中，全集U={（x，y）|x，y∈R}，集合A={（x，y）|xcosθ+（y-4）sinθ=1，0≤θ≤2π}，已知集合A的補集∁_UA所對應(yīng)區(qū)域的對稱中心為M，點P是線段x+y=8（x＞0，y＞0）上的動點，點Q是x軸上的動點，則△MPQ周長的最小值為（　�。�

• A． 24
• B． 4$\sqrt{10}$
• C． 14
• D． 8+4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用點到直線的距離公式計算可知集合A表示的圖形即為以（0，4）為圓心、1為半徑的單位圓的外部，從而可得M（0，4），通過作出圖象，問題轉(zhuǎn)化為求點M關(guān)于x軸和x+y=8對稱的兩點之間的距離，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵點（0，4）到直線xcosθ+（y-4）sinθ=1的距離d=$\frac{|0+0-1||}{\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}$=1，
∴直線xcosθ+（y-4）sinθ=1為圓x²+（y-4）²=1的切線，
∴集合A的補集∁_UA所對應(yīng)的區(qū)域為圓x²+（y-4）²=1的內(nèi)部，故M（0，4），
過直線x+y=8及x軸作點M的對稱點A，B，則A（0，-4），B（4，8），
故所求值為線段AB的長度，由兩點間距離公式可知
|AB|=$\sqrt{（0-4）^{2}+（-4-8）^{2}}$=4$\sqrt{10}$，
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的最值及幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合能力，考查轉(zhuǎn)化思想，利用點到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．