Question

1．已知向量$\overrightarrow a$=（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow b$=（cosx，2cosx），函數f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+m，（m∈R），且當x∈[0，$\frac{π}{2}}$]時，f（x）的最小值為2．
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）先將函數y=f（x）的圖象上的點縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的$\frac{1}{2}$，再把所得的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求函數g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用數量積的坐標運算得答f（x），然后利用降冪公式和輔助角公式化簡，再由復合函數的單調性求得函數的單調增區(qū)間；
（2）由已知x的范圍求得函數的最小值，得到m值，再由函數圖象的平移得答案．

解答 解：（1）∵（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow b$=（cosx，2cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+m=$2co{s}^{2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+m$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+m+1$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+m+1$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
∴f（x）的單調遞增區(qū)間[$kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}$]（k∈Z）；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}}$]時，$2x+\frac{π}{6}∈$[$\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]，
∴2sin（2x$+\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，則f（x）_min=m=2，
∴f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+3$，
將函數y=f（x）的圖象上的點縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的$\frac{1}{2}$，
所得函數解析式為y=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）+3，
再把所得的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位，得到函數y=g（x）的圖象，
則g（x）=2sin[4（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]+3=2sin（4x-$\frac{π}{6}$）+3．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數的圖象和性質，是中檔題．