Question

13．?dāng)?shù)列{a_n}滿足遞推式：a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹+λ•2ⁿ，若數(shù)列{$\frac{a_n}{3^n}$-（$\frac{2}{3}$）ⁿ}為等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ=-1．

Answer 1

分析 將遞推式a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹+λ2ⁿ兩邊同除以3ⁿ⁺¹，整理得$\frac{an+1}{3n+1}$=$\frac{an}{3n}$+1+$\frac{λ}{3}$•（$\frac{2}{3}$）ⁿ，可得$\frac{an+1}{3n+1}$-（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹=$\frac{an}{3n}$+$\frac{λ-2}{3}$•（$\frac{2}{3}$）ⁿ+1，利用數(shù)列{$\frac{a_n}{3^n}$-（$\frac{2}{3}$）ⁿ}為等差數(shù)列，即可得出．

解答 解：將遞推式a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹+λ2ⁿ兩邊同除以3ⁿ⁺¹，整理得$\frac{an+1}{3n+1}$=$\frac{an}{3n}$+1+$\frac{λ}{3}$•（$\frac{2}{3}$）ⁿ．
兩邊同減（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹，整理得$\frac{an+1}{3n+1}$-（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹=$\frac{an}{3n}$+$\frac{λ-2}{3}$•（$\frac{2}{3}$）ⁿ+1，
由于{$\frac{an}{3n}$-（$\frac{2}{3}$）ⁿ}為等差數(shù)列，∴$\frac{λ-2}{3}$=-1，解得λ=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義，考查了轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．