Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=-2x+7，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)P_n（n，S_n）（n∈N⁺）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及S_n的最大值；
（2）設(shè)數(shù)列b_n滿足bn=-

an

2

+7，數(shù)列{

nbn+m

an?an+1+40n-40

}的前n項(xiàng)的和為T(mén)_n，當(dāng)m≥3時(shí)，求證：Tn＞

n

4

+

1

8

．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)即可得到a與b的值，然后把P_n（n，S_n）代入到f（x）中得到S_n=-n²+7n，利用a_n=S_n-S_n-1得到通項(xiàng)公式，令a_n=-2n+8≥0得到n的范圍即可求出S_n的最大值；
（2）先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，代入化簡(jiǎn)，然后利用裂項(xiàng)求和法求出數(shù)列{

nbn+m

an?an+1+40n-40

}的前n項(xiàng)的和為T(mén)_n，從而證得不等式．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx（a≠0），∴f'（x）=2ax+b
由f'（x）=-2x+7得：a=-1，b=7，所以f（x）=-x²+7x
又因?yàn)辄c(diǎn)P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，所以有S_n=-n²+7n
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=6
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-2n+8，∴a_n=-2n+8（n∈N^*）
令a_n=-2n+8≥0得n≤4，∴當(dāng)n=3或n=4時(shí)，S_n取得最大值12
綜上，a_n=-2n+8（n∈N^*），當(dāng)n=3或n=4時(shí)，S_n取得最大值12
（2）由（1）知a_n=-2n+8（n∈N^*），所以bn=-

an

2

+7=n+3，因?yàn)閙≥3，所以

nbn+m

an?an+1+40n-40

=

n2+3n+m

4(k2+3k+2)

≥

n2+3n+3

4(k2+3k+2)

=

1

4

[1+

1

(k+1)(k+2)

]=

1

4

[1+(

1

k+1

-

1

k+2

)]
所以Tn=

1

4

n+

1

4

[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)]
=

1

4

n+

1

4

(

1

2

-

1

n+2

)＞

n

4

+

1

8

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用做差法求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的能力，以及掌握用裂項(xiàng)求和法的方法求數(shù)列前n項(xiàng)的和．考查學(xué)生求導(dǎo)數(shù)的能力，以及靈活運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來(lái)解決問(wèn)題．