Question

20．已知點(diǎn)P（x，y）滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y+6≥0\\ x≤3\\ x+y+k≥0\end{array}\right.$，且z=2x+4y的最小值為6．
（1）常數(shù)k=-3；
（2）$\frac{y-2}{x+7}$的取值范圍為[-$\frac{1}{5}$，$\frac{7}{10}$]．

Answer 1

分析 （1）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)直線斜率的公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
由z=2x+4y，得y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{4}$，平移直線y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{4}$，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{4}$的截距最小，此時(shí)z最小為6，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+4y=6}\\{x=3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，即A（3，0），
同時(shí)A也在直線x+y+k=0上，代入解得k=-3．
（2）$\frac{y-2}{x+7}$的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D（-7，2）的斜率，
由圖象知DC的斜率最大，DA的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x-y+6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=9}\end{array}\right.$，即C（3，9）
則DC的斜率k=$\frac{9-2}{3+7}$=$\frac{7}{10}$，
DA的斜率k=$\frac{-2}{3+7}$=-$\frac{1}{5}$，
則$\frac{y-2}{x+7}$的取值范圍為[-$\frac{1}{5}$，$\frac{7}{10}$]
故答案為：（1）-3；（2）[-$\frac{1}{5}$，$\frac{7}{10}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，以及直線斜率的計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．