Question

已知對于任意非零實(shí)數(shù)m，不等式|5m-3|+|3-4m|≥|m|（x-

2

x

）恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

（-∞，-1]∪（0，2]

．

Answer 1

分析：不等式 |5m-3|+|3-4m|≥|m|(x-

2

x

)恒成立，我們可變形為

1

|m|

(|5m-3|+|3-4m|)≥(x-

2

x

)恒成立，又因?yàn)楦鶕?jù)絕對值不等式可得到左邊大于等于1，從而可得到 x-

2

x

≤1，利用分式不等式的解法即可求得x的取值范圍．

解答：解：已知不等式 |5m-3|+|3-4m|≥|m|(x-

2

x

)恒成立，
可變形為

1

|m|

(|5m-3|+|3-4m|)≥(x-

2

x

)恒成立，
因?yàn)閷τ谌我夥橇銓?shí)數(shù)m，

|5m-3|+|3-4m|

|m|

≥

|5m-3+3-4m|

|m|

=1
所以只需 x-

2

x

≤1?

(x+1)(x-2)

x

≤0
得x的取值范圍為（-∞，-1]∪（0，2]，
故答案為（-∞，-1]∪（0，2]．

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，主要考查絕對值不等式的應(yīng)用問題，考查分式不等式的解法，其中利用絕對值不等式得到左邊大于等于1，從而可得到 x-

2

x

≤1是解題的關(guān)鍵．