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4.已知函數(shù)f(x)=ax+a1x+(1-2a)(a>0)
(1)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;
(2)證明:1+12+13+…+1n>ln(n+1)+n2n+1(n≥1).

分析 (1)化簡可得a(x-1)2≥xlnx-x+1在[1,+∞)上恒成立,討論,當(dāng)x>1時(shí),可化為a≥xlnxx+1x12恒成立;從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解;
(2)當(dāng)a=12時(shí),化簡可得x2-12x≥lnx在[1,+∞)上恒成立,(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立);從而可得12n+1n-nn+1)>lnn+1n,從而化簡證明即可.

解答 解:(1)由題意得,
ax+a1x+(1-2a)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,
即a(x+1x-2)≥lnx+1x-1在[1,+∞)上恒成立,
即a(x-1)2≥xlnx-x+1在[1,+∞)上恒成立,
當(dāng)x=1時(shí),恒成立;
當(dāng)x>1時(shí),可化為a≥xlnxx+1x12恒成立;
令F(x)=xlnxx+1x12,
則F′(x)=xlnxx+1x12xlnxx+1[x12]x14=2xlnxxlnx2x13,
令g(x)=2x-lnx-xlnx-2,則g′(x)=2-1x-lnx-1=1-1x-lnx,
g″(x)=1x2-1x<0,
故g′(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),而g′(1)=0,
故g′(x)≤0,
故g(x)=2x-lnx-xlnx-2<g(1)=0,
故F′(x)<0,
故F(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),
x1limxlnxx+1x12=x1limlnx+112x1
=x1limlnx2x1=x1lim1x2=12,
故a≥12
綜上所述,a≥12
(2)證明:當(dāng)a=12時(shí),∵f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,
x2-12x≥lnx在[1,+∞)上恒成立,
(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立);
令x=n+1n>1(n∈N*),
12n+1n-nn+1)>lnn+1n
121n+1n+1)>lnn+1n,
1n>lnn+1n+121n-1n+1),
故1+12+13+…+1n>ln21+12(1-12)+ln32+1212-13)+…+lnn+1n+121n-1n+1
=ln21+ln32+…+lnn+1n+12(1-12)+1212-13)+…+121n-1n+1
=ln(n+1)+12(1-1n+1)=ln(n+1)+n2n+1(n≥1).
故1+12+13+…+1n>ln(n+1)+n2n+1(n≥1).

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,同時(shí)考查了數(shù)列的函數(shù)特性的應(yīng)用,同時(shí)考查了恒成立問題及極限問題,屬于難題.

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