分析 (1)化簡可得a(x-1)2≥xlnx-x+1在[1,+∞)上恒成立,討論,當(dāng)x>1時(shí),可化為a≥xlnx−x+1(x−1)2恒成立;從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解;
(2)當(dāng)a=12時(shí),化簡可得x2-12x≥lnx在[1,+∞)上恒成立,(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立);從而可得12(n+1n-nn+1)>lnn+1n,從而化簡證明即可.
解答 解:(1)由題意得,
ax+a−1x+(1-2a)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,
即a(x+1x-2)≥lnx+1x-1在[1,+∞)上恒成立,
即a(x-1)2≥xlnx-x+1在[1,+∞)上恒成立,
當(dāng)x=1時(shí),恒成立;
當(dāng)x>1時(shí),可化為a≥xlnx−x+1(x−1)2恒成立;
令F(x)=xlnx−x+1(x−1)2,
則F′(x)=(xlnx−x+1)′(x−1)2−(xlnx−x+1)[(x−1)2]′(x−1)4=2x−lnx−xlnx−2(x−1)3,
令g(x)=2x-lnx-xlnx-2,則g′(x)=2-1x-lnx-1=1-1x-lnx,
g″(x)=1x2-1x<0,
故g′(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),而g′(1)=0,
故g′(x)≤0,
故g(x)=2x-lnx-xlnx-2<g(1)=0,
故F′(x)<0,
故F(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),
而x→1limxlnx−x+1(x−1)2=x→1limlnx+1−12(x−1)
=x→1limlnx2(x−1)=x→1lim1x2=12,
故a≥12;
綜上所述,a≥12;
(2)證明:當(dāng)a=12時(shí),∵f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,
∴x2-12x≥lnx在[1,+∞)上恒成立,
(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立);
令x=n+1n>1(n∈N*),
則12(n+1n-nn+1)>lnn+1n,
即12(1n+1n+1)>lnn+1n,
即1n>lnn+1n+12(1n-1n+1),
故1+12+13+…+1n>ln21+12(1-12)+ln32+12(12-13)+…+lnn+1n+12(1n-1n+1)
=ln21+ln32+…+lnn+1n+12(1-12)+12(12-13)+…+12(1n-1n+1)
=ln(n+1)+12(1-1n+1)=ln(n+1)+n2(n+1)(n≥1).
故1+12+13+…+1n>ln(n+1)+n2(n+1)(n≥1).
點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,同時(shí)考查了數(shù)列的函數(shù)特性的應(yīng)用,同時(shí)考查了恒成立問題及極限問題,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (0,π2) | B. | (π2,π) | C. | (π,3π2) | D. | (3π2,2π) |
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A. | 0 | B. | √33 | C. | 1 | D. | √3 |
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A. | (-∞,4) | B. | (-∞,-4) | C. | (4,+∞) | D. | (-4,+∞) |
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