Question

13．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{1}{2n-1}$，數(shù)列{b_n}滿足2a_n+b_n=1，若對(duì)于任意n∈N^*恒成立，不等式$\sqrt{_{2}_{3}…_{n+1}}$≥$\frac{k}{（1+{a}_{1}）（1+{a}_{2}）…（1+{a}_{n}）}$恒成立，則k的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得b_n，代入$\sqrt{_{2}_{3}…_{n+1}}$，再由$\sqrt{_{2}_{3}…_{n+1}}$≥$\frac{k}{（1+{a}_{1}）（1+{a}_{2}）…（1+{a}_{n}）}$分離參數(shù)k可得答案．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{2n-1}$，2a_n+b_n=1，
∴$_{n}=1-2{a}_{n}=1-\frac{2}{2n-1}=\frac{2n-3}{2n-1}$，
∴$\sqrt{_{2}_{3}…_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×…×\frac{2n-1}{2n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{2n+1}}$，
$1+{a}_{n}=1+\frac{1}{2n-1}=\frac{2n}{2n-1}$，
故對(duì)任意n∈N^*，k≤$（1+{a}_{1}）（1+{a}_{2}）…（1+{a}_{n}）\sqrt{_{2}_{3}…_{n+1}}$恒成立，
令F（n）=$（1+{a}_{1}）（1+{a}_{2}）…（1+{a}_{n}）\sqrt{_{2}_{3}…_{n+1}}$，
則F（n+1）=$（1+{a}_{1}）（1+{a}_{2}）…（1+{a}_{n+1}）\sqrt{_{2}_{3}…_{n+2}}$，
由$\frac{F（n+1）}{F（n）}=\frac{2n+2}{\sqrt{2n+1}\sqrt{2n+3}}=\sqrt{\frac{4{n}^{2}+8n+4}{4{n}^{2}+8n+3}}＞1$，
∴F（n）為增函數(shù)，則$F（n）_{min}=F（1）=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與不等式的綜合，訓(xùn)練了累積法的應(yīng)用，體現(xiàn)了極限思想方法，是中檔題．