Question

9．已知A，B，C為銳角△ABC的內(nèi)角，$\overrightarrow{a}$=（sinA，sinBsinC），$\overrightarrow$=（1，-2），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．
（1）tanB，tanBtanC，tanC能否構(gòu)成等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；
（2）求tanAtanBtanC的最小值．

Answer 1

分析 （1）依題意有sinA=2sinBsinC，從而2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC，再由cosB＞0，cosC＞0，能推導(dǎo)出tanB，tanBtanC，tanC成等差數(shù)列．
（2）推導(dǎo)出tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，從而tanAtanBtanC≥8，由此能求出tanAtanBtanC的最小值為8．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）依題意有sinA=2sinBsinC．…（2分）
在△ABC中，A=π-B-C，
所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，…（3分）
所以2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC．…（4分）
因為△ABC為銳角三角形，所以cosB＞0，cosC＞0，
所以tanB+tanC=2tanBtanC，…（5分）
所以tanB，tanBtanC，tanC成等差數(shù)列．…（6分）
（2）在銳角△ABC中，
tanA=tan（π-B-C）=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$，…（7分）
即tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，…（8分）
由（1）知tanB+tanC=2tanBtanC，
于是tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC≥$2\sqrt{2tanAtanBtanC}$，…（10分）
整理得tanAtanBtanC≥8，…（11分）
當且僅當tanA=4時取等號，
故tanAtanBtanC的最小值為8．…（12分）

點評 本題考查等差數(shù)列的判斷與證明，考查三角形三個內(nèi)角的正切積的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量垂直、三角函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．