Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，數(shù)列{a_n+S_n}是公差為2的等差數(shù)列．
（1）設(shè)b_n=a_n-2，證明：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用已知條件求出{b_n}的首項(xiàng)，以及

an+1-2

an-2

為常數(shù)即可證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
（2）直接利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n+S_n}是公差為2的等差數(shù)列，由題意得a₁-2=-1，
∴（a_n+1+S_n+1）-（a_n+S_n）=2，即a_n+1=

an+2

2

．
又∵

an+1-2

an-2

=

an+2 2 -2

an-2

=

1

2

，
∴{b_n}是首項(xiàng)為-1，公比為

1

2

的等比數(shù)列．…（6分）
（2）解：由（2）得b_n=-（

1

2

）^n-1，∴nb_n=-n•（

1

2

）^n-1，
設(shè)T_n=1+2•

1

2

+3•（

1

2

）²+…+n•（

1

2

）^n-1，①
∴

1

2

T_n=

1

2

+2•（

1

2

）²+3•（

1

2

）³+…+n•（

1

2

）ⁿ，②
①-②得

1

2

T_n=1+

1

2

+（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1-n•（

1

2

）ⁿ，
∴

1

2

T_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•（

1

2

）ⁿ，∴T_n=4-（n+2）•（

1

2

）^n-1，
∴數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和為（n+2）•（

1

2

）ⁿ-¹-4．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的判斷，錯(cuò)位相減法求法數(shù)列的前n項(xiàng)和，基本知識(shí)以及基本方法的應(yīng)用．