Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}中a₁=1，a₄，a₈，a₁₆成等比數(shù)列，
（Ⅰ）試求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n•2an，試求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由等差數(shù)列的通項公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)列式求出等差數(shù)列的公差，則等差數(shù)列的通項公式可求；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=a_n•2an，然后利用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），則a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）d，
∴a₄=1+3d，a₈=1+7d，a₁₆=1+15d，
又∵a₄，a₈，a₁₆成等比數(shù)列，
∴a82=a4•a16，即（1+7d）²=（1+3d）（1+15d），
解得：d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=n，
∴b_n=a_n•2an=n•2ⁿ，
Tn=1×2+2×22+…+n•2n，
2Tn=1×22+2×23+…+n•2n+1．
作差得：
-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)2n+1-2．
∴Tn=(n-1)2n+1+2．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．