Question

已知函數(shù)f（x）=（x-2）e^x和g（x）=ax³+bx²+cx+d．
（1）求f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）若b=-3，c=0，d=1時(shí)，g（x）在x∈（0，+∞）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）若b=0，c=-1，d=-2，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)，再由斜截式方程，即可得到切線方程；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，a≤0，a＞0，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得a的范圍；
（3）構(gòu)造h（x）=f（x）-g（x）=（x-2）e^x-ax³+x+2，轉(zhuǎn)化h（x）=（x-2）e^x-ax³+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立，通過(guò)h'（0）=0，對(duì)a≤

1

6

時(shí)，a＞

1

6

時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的最值，是否滿足題意，求出k的最大值．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x，
則f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率為（0-1）e⁰=-1，
切點(diǎn)為（0，-2），則切線方程為y=-x-2；
（2）g（x）=ax³-3x²+1，g′（x）=3ax²-6x，
當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）在x＞0，g′（x）＜0，則g（x）遞減，則g（x）在x∈（0，+∞）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，g′（x）＞0，解得，x＞

2

a

，g′（x）＜0，解得0＜x＜

2

a

，
則g（

2

a

）取極小值，由于g（0）=1，則只要g（

2

a

）=0，即有g(shù)（x）在x∈（0，+∞）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．
由g（

2

a

）=a•

8

a3

-

12

a2

+1=0，解得a=2（-2舍去）．
則a的取值范圍是（-∞，0]∪{2}；
（3）令h（x）=f（x）-g（x）=（x-2）e^x-ax³+x+2，
依題可知h（x）=（x-2）e^x-ax³+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立，
h'（x）=（x-1）e^x-3ax²+1，令φ（x）=h'（x）=（x-1）e^x-3ax²+1，
有φ（0）=h'（0）=0且φ'（x）=x（e^x-6a），
①當(dāng)6a≤1，即a≤

1

6

時(shí)，
因?yàn)閤≥0，e^x≥1，所以φ'（x）=x（e^x-6a）≥0
所以函數(shù)φ（x）即h'（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又由φ（0）=h'（0）=0
故當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
又因?yàn)閔（0）=0，所以h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，滿足題意；
②當(dāng)6a＞1，即a＞

1

6

時(shí)，
當(dāng)x∈（0，ln（6a）），φ'（x）=x（e^x-6a）＜0，函數(shù)φ（x）即h'（x）單調(diào)遞減，
又由φ（0）=h'（0）=0，所以當(dāng)x∈（0，ln（6a）），h'（x）＜h'（0）=0
所以h（x）在（0，ln（6a））上單調(diào)遞減，
又因?yàn)閔（0）=0，所以x∈（0，ln（6a））時(shí)h（x）＜0，
這與題意h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立相矛盾，故舍．
綜上a≤

1

6

，即a的最大值是

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．