Question

19．（1）己知f（x）=（x²-2ax）e^x在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)，求正數(shù)a的取值范圍．
（2）已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+2x存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先由f′（x）＞0，再根據(jù)函數(shù)f（x）在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為x²+2（1-a）x-2a≤0在[-1，1]恒成立問題，列出關(guān)于a的不等關(guān)系解之即得；
（2）利用導(dǎo)數(shù)進行理解，即f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．可得-ax²+2x+1＜0在正數(shù)范圍內(nèi)至少有一個解，運用參數(shù)分離和二次喊話說的值域，不難得到a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f'（x）=e^x[x²+2（1-a）x-2a]，①
若f（x）在[-1，1]遞減，則f'（x）≤0在[-1，1]恒成立，
∴只需x²+2（1-a）x-2a≤0在[-1，1]恒成立，
即2a（x+1）≥x²+2x在[-1，1]恒成立，
x=-1時①式成立；x∈（-1，1]時，需滿足a≥$\frac{{x}^{2}+2x}{2（x+1）}$，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x}{2（x+1）}$，
則g′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{2（x+1）^{2}}$＞0在x∈（-1，1]恒成立，
∴g（x）在（-1，1]遞增，∴g（x）_max=g（1）=$\frac{3}{4}$，∴a≥$\frac{3}{4}$；
若f（x）在[-1，1]遞增，則f'（x）≥0在[-1，1]恒成立，
但f'（-1）=-1，∴f（x）在[-1，1]不遞增；
綜上a≥$\frac{3}{4}$；
（2）解：對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=$\frac{1+2x-a{x}^{2}}{x}$，（x＞0）
依題意，得f′（x）＜0在（0，+∞）上有解．
即-ax²+2x+1＜0在x＞0時有解．
即為a＞$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$）²+$\frac{2}{x}$，
由x＞0可得（$\frac{1}{x}$）²+$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$+1）²-1＞0，
則a＞0．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．