Question

11．已知實(shí)數(shù)a，b滿足：2b²-a²=2，則|a-3b|的最小值為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 2b²-a²=2可化為：b²=$\frac{1}{2}$a²+1，令b=$\frac{1}{cosθ}$，a=$\sqrt{2}$tanθ，則|a-3b|=|$\sqrt{2}$tanθ-$\frac{3}{cosθ}$|，利用換元法，可得答案．

解答 解：2b²-a²=2可化為：b²=$\frac{1}{2}$a²+1，
令b=$\frac{1}{cosθ}$，a=$\sqrt{2}$tanθ，
則|a-3b|=|$\sqrt{2}$tanθ-$\frac{3}{cosθ}$|=$\sqrt{\frac{2{sin}^{2}θ-6\sqrt{2}sinθ+9}{{cos}^{2}θ}}$=$\sqrt{\frac{2{sin}^{2}θ-6\sqrt{2}sinθ+9}{{1-sin}^{2}θ}}$，
令f（x）=$\frac{2{x}^{2}-6\sqrt{2}x+9}{1-{x}^{2}}$，-1＜x＜1，
則f′（x）=-$\frac{6\sqrt{2}{x}^{2}+22x+6\sqrt{2}}{{（1-{x}^{2}）}^{2}}$，
當(dāng)-1＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{3}$時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)$\frac{\sqrt{2}}{3}$＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，
故當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$時(shí)，f（x）取最小值7，
故|a-3b|的最小值為$\sqrt{7}$，
故答案為：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是轉(zhuǎn)化思想，復(fù)數(shù)的模，換元法，難度較大．