Question

【題目】設(shè)圓x2+y2=2的切線l與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B，當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，切線l的方程為 ．

Answer 1

【答案】x+y﹣2=0
【解析】解：設(shè)A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，則切線的方程為 ，|AB|= ．

又圓x2+y2=2的圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r= ，

由圓心到直線的距離d= =r= ，可得 + = ．

則|AB|2=（a2+b2）2[ + ]=2（1+ + +1）≥2（2+2）=8，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，等號(hào)成立．

故當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，切線l的方程為 ，即 x+y﹣2=0，

故答案為：x+y﹣2=0．

根據(jù)圓的切線與x軸，y軸交點(diǎn)分別為A和B，設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線的截距式方程，且根據(jù)勾股定理表示出|AB|，由直線與圓相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到所設(shè)切線的距離d，使d等于圓的半徑r，化簡(jiǎn)可得a與b的關(guān)系式，利用此關(guān)系式把|AB|2進(jìn)行變形，利用基本不等式求出|AB|2的最小值，且得到取最小值時(shí)a與b的值，把此時(shí)a與b的值代入所設(shè)的方程中，即可確定出切線的方程．