Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）如果對于任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（III）設函數(shù)， ，過點作函數(shù)的圖象的所有切線，令各切點的橫坐標按從小到大構成數(shù)列，求數(shù)列的所有項之和的值.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為；減區(qū)間為

（2）（3）

【解析】

試題分析：(1)求出函數(shù)的導函數(shù),由導函數(shù)大于0求其增區(qū)間,導函數(shù)小于0求其減區(qū)間;
(2)構造輔助函數(shù),把問題轉化為求時

,然后對k的值進行分類討論,求k在不同取值范圍內時的的最小值,由最小值大于等于0得到k的取值范圍;
(3)把的解析式代入 ,求出函數(shù)的導函數(shù),設出切點坐標,求出函數(shù)在切點處的導數(shù),由點斜式寫出切線方程,把M的坐標代入切線方程,得到關于切點橫坐標的三角方程,利用函數(shù)圖象交點分析得到切點的橫坐標關于對稱成對出現(xiàn),最后由給出的自變量的范圍得到數(shù)列的所有項之和S的值.

試題分析：⑴

的增區(qū)間為 ；減區(qū)間為 .

⑵令,要使恒成立，只需當時，

,令，則對恒成立

在上是增函數(shù)，則

①當時，恒成立，在上為增函數(shù)，滿足題意；

②當時，在上有實根, 在上是增函數(shù)

則當時，，不符合題意；

③當時，恒成立，在上為減函數(shù)，

不符合題意

，即.

⑶

設切點坐標為，則切線斜率為

從而切線方程為

令，，這兩個函數(shù)的圖象均關于點對稱，則它們交點的橫坐標也關于對稱，從而所作的所有切線的切點的橫坐標構成數(shù)列的項也關于成對出現(xiàn)，又在共有1008對，每對和為.

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