Question

4．已知△ABC的重心為O，過O任做一直線分別交邊AB，AC于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AQ}=n\overrightarrow{AC}$，則4m+9n的最小值是$\frac{25}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．可以分別過點(diǎn)B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于點(diǎn)E，F(xiàn)，根據(jù)平行線等分線段定理和梯形中位線定理可得到等式，利用基本不等式求解表達(dá)式的最值．

解答 解：分別過點(diǎn)B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于點(diǎn)E，F(xiàn)，則BE∥AD∥CF，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，△ABC的重心為O，可得AO=2OD．
∴OD是梯形的中位線，
∴BE+CF=2OD，$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AQ}=n\overrightarrow{AC}$，可得：$\frac{BA-PA}{PA}=\frac{BP}{PA}=\frac{BE}{OA}=\frac{BA}{PA}-1=\frac{1}{m}-1$，$\frac{CA-QA}{QA}=\frac{CF}{OA}=\frac{CA}{QA}-1=\frac{1}{n}-1$，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$-2=$\frac{BE}{OA}+\frac{CF}{OA}$=$\frac{2DO}{OA}$=1．
可得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=3
4m+9n=$\frac{1}{3}$（4m+9n）（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{3}$（4+9+$\frac{4m}{n}+\frac{9n}{m}$）≥$\frac{1}{3}$（13+2$\sqrt{\frac{4m}{n}•\frac{9n}{m}}$）=$\frac{25}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)2m=3n，$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=3時(shí)取等號(hào)．
故答案為：$\frac{25}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，重心的概念和性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用平行線分線段成比例定理、平行線等分線段定理以及梯形的中位線定理．