Question

數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n，已知S_n=

9

8

a_n-

4

3

×3ⁿ+

4

3

，求和

3

S1

+

32

S2

+…+

3n

Sn

＜

3

16

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得{

1

8

an+4×3n-2}是首項(xiàng)為4，公比為9的等比數(shù)列，從而a_n=

32

9

(9n-3n)，進(jìn)而S_n=4×9n-16×3n-1+

4

3

，由此得到

3n

Sn

=

3n

4×9n-16×3n-1+ 4 3

=

1

4×3n- 16 3 + 4 3n+1

=

1

4 3 ( 1 3n +3n+1-4)

，當(dāng)n≥2時(shí)，

3n

Sn

=

1

4 3 ( 1 3n +3n+1-4)

＜

3

4

•

1

3n+1-4

＜

3

8

×

1

3n

，由此能證明

3

S1

+

32

S2

+…+

3n

Sn

＜

3

16

．

解答： 解：∵S_n=

9

8

a_n-

4

3

×3ⁿ+

4

3

，①
∴S_n-1=

9

8

a_n-1-

4

3

×3^n-1+

4

3

，②
①-②，得a_n=

9

8

an-

9

8

an-1-

4

3

×3n+

4

3

×3n-1，
整理，得

1

8

an+4×3^n-2=

9

8

an-1+4×3^n-1=9（

1

8

an-1+4×3n-3），
又a₁=S₁=

9

8

a1-

4

3

×3+

4

3

，解得a₁=

64

3

，

1

8

a1+4×3-1=4，
∴{

1

8

an+4×3n-2}是首項(xiàng)為4，公比為9的等比數(shù)列，
∴

1

8

an+4×3^n-2=4×9^n-1，
∴a_n=

32

9

(9n-3n)，
∴S_n=

32

9

[

9(1-9n)

1-9

-

3(1-3n)

1-3

]
=4（9ⁿ-1）-

16

3

（3ⁿ-1）
=4×9n-16×3n-1+

4

3

，
∴

3n

Sn

=

3n

4×9n-16×3n-1+ 4 3

=

1

4×3n- 16 3 + 4 3n+1

=

1

4 3 ( 1 3n +3n+1-4)

，
當(dāng)n=1時(shí)，

3

S1

=

9

64

＜

3

16

，
當(dāng)n≥2時(shí)，3ⁿ⁺¹-4＞2×3ⁿ，
∴

3n

Sn

=

1

4 3 ( 1 3n +3n+1-4)

＜

3

4

•

1

3n+1-4

＜

3

8

×

1

3n

，
∴

3

S1

+

32

S2

+…+

3n

Sn

＜

3

8

（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）
=

3

8

×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

3

8

×

1

2

（1-

1

3n

）
=

3

16

(1-

1

3n

)＜

3

16

．
綜上所述，

3

S1

+

32

S2

+…+

3n

Sn

＜

3

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)、放縮法的合理運(yùn)用．