Question

定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=3f（x），當x∈[0，2）時，f（x）=

x2-x，x∈[0，1) -( 1 2 )|x- 3 2 |，x∈[1，2)

，若x∈[-4，-2）時，f（x）-

t

9

+

2

9t

≥0恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A、[-2，0）∪（0，1）
• B、[-2，0）∪[1，+∞）
• C、[-2，1]
• D、（-∞，-2]∪（0，1]

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由x∈[0，2）時，f（x）=

x2-x，x∈[0，1) -( 1 2 )|x- 3 2 |，x∈[1，2)

求出x∈[-4，-2）時的解析式，然后分段求出最小值，代入f（x）-

t

9

+

2

9t

≥0后求解關(guān)于t的不等式得答案．

解答： 解：設(shè)x∈[-4，-2），則x+4∈[0，2），
f（x+4）=

(x+4)2-2(x+4) -( 1 2 )|x+4- 3 2 |

=

x2+6x+8 -( 1 2 )|x+ 5 2 |

=3f（x+2）=9f（x），
即f（x）=

1 9 (x2+6x+8)，x∈[-4，-3) - 1 9 •( 1 2 )|x+ 5 2 |，x∈[-3，-2)

，
∵f（x）-

t

9

+

2

9t

≥0恒成立，
∴當x∈[-4，-3）時，

1

9

(x2+6x+8)≥

t

9

-

2

9t

，
即

t

9

-

2

9t

≤[

1

9

(x2+6x+8)]min，也就是

t

9

-

2

9t

≤-

1

9

，解得：t≤-2或0＜t≤1；
當x∈[-3，-2）時，-

1

9

•(

1

2

)|x+

5

2

|≥

t

9

-

2

9t

，
即

t

9

-

2

9t

≤[-

1

9

•(

1

2

)|x+

5

2

|]min，也就是

t

9

-

2

9t

≤-

1

9

，解得：t≤-2或0＜t≤1．
綜上，實數(shù)t的取值范圍為（-∞，-2]∪（0，1]．
故選：D．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了函數(shù)值域的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了分段函數(shù)的應(yīng)用，屬難題．