Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-a（x+1）（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．
（1）若f'（0）=0，求實(shí)數(shù)a的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+$\frac{a}{e^x}$，且A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂））（x₁＜x₂）是曲線y=g（x）上任意兩點(diǎn)，若對任意的a≤-1，恒有g(shù)（x₂）-g（x₁）＞m（x₂-x₁）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f'（0）=0，求出a的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）得到g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，令函數(shù)F（x）=g（x）-mx，則F（x）在R上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-a（x+1），
∴f′（x）=e^x-a，
∵f′（0）=1-a=0，∴a=1，∴f′（x）=e^x-1，
由f′（x）=e^x-1＞0，得x＞0；由由f′（x）=e^x-1＜0，得x＜0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0）． 
（2）由$\frac{{g（{x_2}）-g（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞m，（x₁＜x₂）變形得：g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，
令函數(shù)F（x）=g（x）-mx，則F（x）在R上單調(diào)遞增，
∴F′（x）=g′（x）-m≥0，即m≤g′（x）在R上恒成立，
$g'（x）={e^x}-a-\frac{a}{e^x}≥2\sqrt{{e^x}•（-\frac{a}{e^x}）}-a=-a+2\sqrt{-a}={（\sqrt{-a}+1）^2}-1≥3$，
故m≤3．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，3]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．