Question

18．在平面直角坐標(biāo)系中，定點(diǎn)F（1，0），P是定直線(xiàn)l：x=-1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線(xiàn)與線(xiàn)段PF的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn)Q，記Q點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)T，過(guò)點(diǎn)E（2，0）作斜率分別為k₁，k₂的兩條直線(xiàn)AB，CD交曲線(xiàn)T于點(diǎn)A，B，C，D，且M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．
（1）求曲線(xiàn)T的方程；
（2）若k₁+k₂=1，求證：直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線(xiàn)的定義可得點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)l₁：x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，即可求曲線(xiàn)T的方程；
（2）設(shè)AB的方程為y=k₁（x-2），聯(lián)立拋物線(xiàn)方程得k₁y²-4y-8k₁=0，y₁+y₂=$\frac{4}{{k}_{1}}$，y₁y₂=-4m，求出M，N的坐標(biāo)，由此能證明直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)（2，2）．

解答 （1）解：過(guò)點(diǎn)P作l的垂線(xiàn)與線(xiàn)段PF的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn)Q，∴|QP|=|QF|，即點(diǎn)Q到點(diǎn)F（1，0）的距離等于點(diǎn)Q到直線(xiàn)l₁：x=-1的距離，
由拋物線(xiàn)的定義可得點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)l₁：x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
方程為y²=4x．
（2）證明：設(shè)AB的方程為y=k₁（x-2），聯(lián)立拋物線(xiàn)方程得k₁y²-4y-8k₁=0，y₁+y₂=$\frac{4}{{k}_{1}}$，y₁y₂=-4m，
AB中點(diǎn)M（$\frac{2}{{{k}_{1}}^{2}}$+2，$\frac{2}{{k}_{1}}$），
同理，點(diǎn)N（$\frac{2}{{{k}_{2}}^{2}}$+2，$\frac{2}{{k}_{2}}$），
∴k_MN=$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{1}+{k}_{2}}$=k₁k₂，
∴MN：y-$\frac{2}{{k}_{1}}$=k₁k₂[x-（$\frac{2}{{{k}_{1}}^{2}}$+2）]，
即y=k₁k₂（x-2）+2，
∴直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)（2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式的合理運(yùn)用．