Question

已知定點(diǎn)B（0，2），直線l是雙曲線x²-y²=-2位于x軸下方的準(zhǔn)線，D是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，

AD

=

DC

=（

3

，0）
（1）當(dāng)D在直線l上移動(dòng)時(shí)，求線段AB與AC垂直平分線交點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）過(guò)定點(diǎn)F（0，

3

2

）作互相垂直的直線l₁，l₂分別交軌跡E于M、N和R、Q，求四邊形MRNQ的面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由題意可得，直線l的方程為y=-1，設(shè)點(diǎn)D（m，-1），由

AD

=

DC

=（

3

，0），可得點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，求得AB的垂直平分線方程，再把x=m代入，求得交點(diǎn)P的軌跡E的方程．
（2）設(shè)直線l₁的方程為y=kx+

3

2

，則l₂的方程為y=-

1

k

x+

3

2

．把直線l₁的方程和軌跡E的方程聯(lián)立方程組，求得弦長(zhǎng)|MN|的值．同理求得|PQ|，根據(jù)四邊形MRQN=

1

2

|MN|•|RQ|，利用基本不等式求得四邊形MRNQ的面積的最小值．

解答： 解：（1）由題意可得，直線l的方程為y=-1，設(shè)點(diǎn)D（m，-1），由

AD

=

DC

=（

3

，0），
可得點(diǎn)A（m-

3

，-1），點(diǎn)C（

3

+m-1）．
線段AC的垂直平分線方程為x=m，且AB的垂直平分線方程為y-

1

2

=

m- 3

2

（x-

m- 3

2

），
把x=m代入上式可得x²=6y，交點(diǎn)P的軌跡E的方程．
（2）由軌跡E的圖形可得直線l₁，l₂的斜率都存在，且不為零，設(shè)直線l₁的方程為y=kx+

3

2

，
則l₂的方程為y=-

1

k

x+

3

2

．
由

y=kx+ 3 2 x2=6y

，求得 x²-6kx-9=0，由于△=36k²+36＞0，故直線l₁與軌跡E交于兩點(diǎn) M（x₁，y₁）、N（x₂ y₂），
且 x₁+x₂=6k，x₁•x₂=9，∴|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=6（k²+1）．
同理可得，|PQ|=6（

1

k2

+1），∴四邊形MRQN=

1

2

|MN|•|RQ|=18（k²+

1

k2

+2）≥72，當(dāng)且僅當(dāng)k²=

1

k2

時(shí)，取等號(hào)，
故四邊形MRNQ的面積的最小值為72．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，求點(diǎn)的軌跡方程，直線和圓錐曲線相交的性質(zhì)，韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．