Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

ax³-

1

4

x2+cx+d（a，c，d∈R）滿足f（0）=0，f′（1）=0且f′（x）≥0 在R上恒成立．
（1）求a，c，d的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)g（x）=f′（x）-mx在區(qū)間[1，2]上有最小值-5？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,存在型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f（0）=0得到d=0，由f′（1）=0，得到a+c=

1

2

，再由f′（x）≥0 在R上恒成立，即
ax²-

1

2

x+c≥0恒成立，討論a=0，a≠0，結(jié)合判別式小于0，即可得到a，c的值；
（2）假設(shè)存在m，使g（x）=f′（x）-mx=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

在區(qū)間[1，2]上有最小值-5，討論①當(dāng)2m+1≤1即m≤0②當(dāng)1＜2m+1＜2，即0＜m＜

1

2

③當(dāng)2m+1≥2，即m≥

1

2

，考慮對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，由單調(diào)性確定最小值，解方程即可得到．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

ax³-

1

4

x2+cx+d，f（0）=0，∴d=0，
∵f′（x）=ax²-

1

2

x+c，f′（1）=0，∴a+c=

1

2

，
∵f′（x）≥0 在R上恒成立，即ax²-

1

2

x+c≥0恒成立，
a=0，不恒成立；a≠0，有a＞0，且

1

4

-4ac≤0，即

1

4

-4a（

1

2

-a）≤0，
即有（4a-1）²≤0，則a=

1

4

，
則a=c=

1

4

，d=0；
（2）假設(shè)存在m，使g（x）=f′（x）-mx=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

在區(qū)間[1，2]上有最小值-5
由g（x）=f′（x）-mx=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

的圖象開(kāi)口向上且對(duì)稱軸x=2m+1．
①當(dāng)2m+1≤1即m≤0，g（x）在[1，2]上遞增，則g（1）=-5，即

1

4

-（

1

2

+m）+

1

4

=-5，
解得m=5與m≤0矛盾，則m≠5；
②當(dāng)1＜2m+1＜2，即0＜m＜

1

2

，g（x）在[1，2m+1]上遞減，[2m+1，2]上遞增，
則g（2m+1）=-5，即

1

4

（2m+1）2-（

1

2

+m）（2m+1）+

1

4

=-5，解得m=-

1

2

±

21

2

，
均與0＜m＜

1

2

矛盾，則m≠-

1

2

±

21

2

；
③當(dāng)2m+1≥2，即m≥

1

2

，g（x）在[1，2]上遞減，則g（2）=-5，
即

1

4

×4-（

1

2

+m）×2+

1

4

=-5，解得m=

21

8

，滿足m≥

1

2

．
綜上，當(dāng)m=

21

8

時(shí)，函數(shù)g（x）=f′（x）-mx在區(qū)間[1，2]上有最小值-5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查二次不等式的恒成立問(wèn)題，以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，注意結(jié)合對(duì)稱軸，運(yùn)用單調(diào)性求解，考分類討論的思想方法，屬于中檔題．