【題目】在矩形中, , 是邊的中點(diǎn),如圖(1),將沿直線翻折到的位置,使,如圖(2).
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)已知, , 分別是線段, , 上的點(diǎn),且, , 平面,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) 直線與平面所成角的正弦值為.
【解析】試題分析:(Ⅰ)先證明平面,從而可得,由平面幾何知識(shí)可得,由線面垂直的判定定理可得BE⊥平面PCE,進(jìn)而由面面垂直的判定定理可得結(jié)論;(Ⅱ)以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以, 所在直線為, 軸,以經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量以及直線的方向向量,利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ)證明:連結(jié),由題意可知.
又因?yàn)?/span>, , , 平面,
所以平面.
又因?yàn)?/span>平面,
所以.
又因?yàn)樵诰匦?/span>中, ,
所以.
又因?yàn)?/span>, , 平面,
所以平面.
又因?yàn)?/span>平面,
所以平面平面.
(Ⅱ)在圖(2)中,以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以, 所在直線為, 軸,以經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示.
由題意可知, , ,
取的中點(diǎn),連結(jié).
由(Ⅰ)可知平面平面.
又因?yàn)?/span>,所以.
又因?yàn)槠矫?/span>平面,
所以平面.
可得.
又因?yàn)?/span>,所以.
因?yàn)?/span>,可得.
設(shè),可得.
所以.
又因?yàn)?/span>, ,
設(shè)平面的法向量為,
則令,可得,
所以
因?yàn)?/span>平面,所以,可得.
所以.
由(Ⅰ)可知平面,所以是平面的一個(gè)法向量, .
可得.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查面面垂直的判定定理、利用空間向量求線面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高一年級(jí)的A,B,C三個(gè)班共有學(xué)生120人,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,用分層抽樣的方法從這三個(gè)班中分別抽取4,5,6名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查. (Ⅰ)求A,B,C三個(gè)班各有學(xué)生多少人;
(Ⅱ)記從C班抽取學(xué)生的編號(hào)依次為C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 , 現(xiàn)從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)分析.
(i)列出所有可能抽取的結(jié)果;
(ii)設(shè)A為事件“編號(hào)為C1和C2的2名學(xué)生中恰有一人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)Sn是數(shù)列[an}的前n項(xiàng)和, .
(1)求{an}的通項(xiàng);
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】命題p:關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對(duì)一切x∈R恒成立;命題q:函數(shù)f(x)=lagax在(0,+∞)上遞增,若p∨q為真,而p∧q為假,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某農(nóng)場(chǎng)預(yù)算用5600元購(gòu)買單價(jià)為50元(每噸)的鉀肥和20元(每噸)的氮肥,希望使兩種肥料的總數(shù)量(噸)盡可能的多,但氮肥數(shù)不少于鉀肥數(shù),且不多于鉀肥數(shù)的1.5倍.
(Ⅰ)設(shè)買鉀肥x噸,買氮肥y噸,按題意列出約束條件、畫(huà)出可行域,并求鉀肥、氮肥各買多少才行?
(Ⅱ)已知A(10,0),O是坐標(biāo)原點(diǎn),P(x,y)在(Ⅰ)中的可行域內(nèi),求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某印刷廠的打印機(jī)每5年需淘汰一批舊打印機(jī)并購(gòu)買新機(jī),買新機(jī)時(shí),同時(shí)購(gòu)買墨盒,每臺(tái)新機(jī)隨機(jī)購(gòu)買第一盒墨150元,優(yōu)惠0元;再每多買一盒墨都要在原優(yōu)惠基礎(chǔ)上多優(yōu)惠一元,即第一盒墨沒(méi)有優(yōu)惠,第二盒墨優(yōu)惠一元,第三盒墨優(yōu)惠2元,……,依此類推,每臺(tái)新機(jī)最多可隨新機(jī)購(gòu)買25盒墨.平時(shí)購(gòu)買墨盒按零售每盒200元.
公司根據(jù)以往的記錄,十臺(tái)打印機(jī)正常工作五年消耗墨盒數(shù)如下表:
消耗墨盒數(shù) | 22 | 23 | 24 | 25 |
打印機(jī)臺(tái)數(shù) | 1 | 4 | 4 | 1 |
以這十臺(tái)打印機(jī)消耗墨盒數(shù)的頻率代替一臺(tái)打印機(jī)消耗墨盒數(shù)發(fā)生的概率,記ξ表示兩臺(tái)打印機(jī)5年消耗的墨盒數(shù).
(1)求ξ的分布列;
(2)若在購(gòu)買兩臺(tái)新機(jī)時(shí),每臺(tái)機(jī)隨機(jī)購(gòu)買23盒墨,求這兩臺(tái)打印機(jī)正常使用五年在消耗墨盒上所需費(fèi)用的期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=loga|x+1|在區(qū)間(﹣2,﹣1)上恒有f(x)>0,則關(guān)于a的不等式f(4a﹣1)>f(1)的解集為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列所給4個(gè)圖象中,與所給3件事吻合最好的順序?yàn)椋?)
(1)小明離開(kāi)家不久,發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學(xué);
(2)小明騎著車一路以常速行駛,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽擱了一些時(shí)間;
(3)小明出發(fā)后,心情輕松,緩緩行進(jìn),后來(lái)為了趕時(shí)間開(kāi)始加速.
A.(4)(1)(2)
B.(4)(2)(3)
C.(4)(1)(3)
D.(1)(2)(4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= +a(a∈R)為奇函數(shù)
(1)求a的值;
(2)當(dāng)0≤x≤1時(shí),關(guān)于x的方程f(x)+1=t有解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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